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「数学王子」- 高斯

向下

「数学王子」- 高斯 Empty 「数学王子」- 高斯

帖子 由 ak!_9h03n!x 9/7/2009, 03:06

德国大数学家高斯 ( Carl Friedrich Gauss 1777-1855 ) 是德国最伟
大,最杰出的科学家,如果单纯以他的数学成就来说,很少在一门
数学的分支里没有用到他的一些研究成果。

「数学王子」- 高斯 F23

贫寒家庭出身

高斯的祖父是农民,父亲除了从事园艺的工作外,也当过各色
各样的杂工,如护堤员、建筑工等等。父亲由于贫穷,本身没有受
过什么教育。

母亲在三十四岁时才结婚,三十五岁生下了高斯。她是一名石
匠的女儿,有一个很聪明的弟弟,他手巧心灵是当地出名的织绸能
手,高斯的这位舅舅,对小高斯很照顾,有机会就教育他,把他所
知道的一些知识传授给他。而父亲可以说是一名”大老粗”,认为
只有力气能挣钱,学问对穷人是没有用的。

  高斯在晚年喜欢对自己的小孙儿讲述自己小时候的故事,他说
他在还不会讲话的时候,就已经学会计算了。

他还不到三岁的时候,有一天他观看父亲在计算受他管辖的工
人们的周薪。父亲在喃喃的计数,最后长叹的一声表示总算把钱算
出来。

  父亲念出钱数,准备写下时,身边传来微小的声音:「爸爸!
算错了,钱应该是这样.....。」

  父亲惊异地再算一次,果然小高斯讲的数是正确的,奇特的地
方是没有人教过高斯怎么样计算,而小高斯平日靠观察,在大人不
知不觉时,他自己学会了计算。

另外一个著名的故事亦可以说明高斯很小时就有很快的计算能
力。当他还在小学读书时,有一天,算术老师要求全班同学算出以
下的算式:
  1 + 2 + 3 + 4 + ....+ 98 + 99 + 100 = ?
在老师把问题讲完不久,高斯就在他的小石板上端端正正地写下答
案5050,而其他孩子算到头昏脑胀,还是算不出来。最后只有高斯
的答案是正确无误。

原來   1 +100= 101
      2 + 99 = 101
      3 + 98 = 101
       .
       .
       .
      50 + 51 = 101

前后两项两两相加,就成了50对和都是 101的配对了
即 101 × 50 = 5050。

按:今用公式
         「数学王子」- 高斯 F16
    表示 1 + 2 + ... + n

高斯的家里很穷,在冬天晚上吃完饭后,父亲就要高斯上
床睡觉,这样可以节省燃料和灯油。高斯很喜欢读书,他往往
带了一捆芜菁上他的顶楼去,他把芜菁当中挖空,塞进用粗棉
卷成的灯芯,用一些油脂当烛油,于是就在这发出微弱光亮的
灯下,专心地看书。等到疲劳和寒冷压倒他时,他才钻进被窝
睡觉。

  高斯的算术老师本来是对学生态度不好,他常认为自己在
穷乡僻壤教书是怀才不遇,现在发现了「神童」,他是很高兴
。但是很快他就感到惭愧,觉得自己懂的数学不多,不能对高
斯有什么帮助。

  他去城里自掏腰包买了一本数学书送给高斯,高斯很高兴
和比他大差不多十岁的老师的助手一起学习这本书。这个小孩
和那个少年建立起深厚的感情,他们花许多时间讨论这里面的
东西。

  高斯在十一岁的时候就发现了二项式定理 (x+y)^n的一般
情形,这里 n可以是正负整数或正负分数。当他还是一个小学生
时就对无穷的问题注意了。

  有一天高斯在走回家时,一面走一面全神贯注地看书,不
知不觉走进了布伦斯维克 ( Braunschweig ) 宫的庭园,这时布伦
斯维克公爵夫人看到这个小孩那么喜欢读书,于是就和他交谈
,她发现他完全明白所读的书的深奥内容。

  公爵夫人回去报告给公爵知道,公爵也听说过在他所管辖
的领地有一个聪明小孩的故事,于是就派人把高斯叫去宫殿。

  费迪南公爵 ( Duke Ferdinand ) 很喜欢这个害羞的孩子,也
赏识他的才能,于是决定给他经济援助,让他有机会受高深教
育,费迪南公爵对高斯的照顾是有利的,不然高斯的父亲是反
对孩子读太多书,他总认为工作赚钱比去做什么数学研究是更
有用些,那高斯又怎么会成材呢?

高斯的学校生涯

在费迪南公爵的善意帮助下,十五岁的高斯进入一间著名
的学院(程度相当于高中和大学之间)。在那里他学习了古代
和现代语言,同时也开始对高等数学作研究。

他专心阅读牛顿、欧拉、拉格朗日这些欧洲著名数学家的
作品。他对牛顿的工作特别钦佩,并很快地掌握了牛顿的微积
分理论。

  1795年10月他离开家乡的学院到哥庭根 ( Gottingen )去念大
学。哥庭根大学在德国很有名,它的丰富数学藏书吸引了高斯
。许多外国学生也到那里学习语言、神学、法律或医学。这是
一个学术风气很浓厚的城市。

  高斯这时候不知道要读什么系,语言系呢还是数学系?如
果以实用观点来看,学数学以后找生活是不大容易的。

  可是在他十八岁的前夕,现在数学上的一个新发现使他决
定终生研究数学。这发现在数学史上是很重要的。

我们知道当 n ≧ 3 时,正 n 边形是指那些每一边都相等,内角
也一样的 n 边多边形。

  希腊的数学家早知道用圆规和没有刻度的直尺画出正三、
四、五、十五边形。但是在这之后的二千多年以来没有人知道
怎么用直尺和圆规构造正十一边、十三边、十四边、十七边多
边形。

  还不到十八岁的高斯发现了:一个正 n 边形可以用直尺和
圆规画出当且仅当 n 是底下两种形式之一:
「数学王子」- 高斯 F17
k= 0,1,2, ...

十七世纪时法国数学家费马 ( Fermat ) 以为公式
「数学王子」- 高斯 F18
在 k = 0, 1, 2, 3, ....给出素数。(事实上,目前只确定 F0,F1,F2,F4
是质数,F5不是)。

高斯用代数方法解决了二千多年来的几何难题,而且找到
正十七边形的直尺与圆规的作法。他是那么的兴奋,因此决定
一生研究数学。据说,他还表示希望死后在他的墓碑上能刻上
一个正十七边形,以纪念他少年时最重要的数学发现。

  1799年高斯呈上他的博士论文,这论文证明了代数一个重
要的定理:任何一元代数方程都有根。这结果数学上称为”代
数基本定理”。

事实上在高斯之间有许多数学家认为已给出了这个结果的
证明,可是没有一个证是严密的,高斯是第一个数学家给出严
密无误的证明,高斯认为这个定理是很重要的,在他一生中给
了一共四个不同的证明。高斯没有钱印刷他的学位论文,还好
费迪南公爵给他钱印刷。

  二十岁时高斯在他的日记上写,他有许多数学想法出现在
脑海中,由于时间不定,因此只能记录一小部份。幸亏他把研
究的成果写成一本叫<算学研究>,并且在二十四岁时出版,
这书是用拉丁文写,原来有八章,由于钱不够,只好印七章,
这书可以说是数论第一本有系统的著作,高斯第一次介绍”同
余”这个概念。
ak!_9h03n!x
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